Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben uns ja beschäftigt beim letzten Mal mit, na, wo gehen wir ganz zurück,

die, mit dem Problem hier der Zustandsraumdarstellung. Das heißt, wir haben eine

Differentialgleichung gegeben in der Form x Punkt ist gleich a mal x plus b mit

einer n Kreuz n Systemmatrix a und dem rechte Seitevektor sozusagen der

Fremderregung b. Dazu gibt es Anfangsbedingungen in der Form, dass man x

zum Zeitpunkt t null, typischerweise t null gleich null, kennt als x null und

die Lösung jetzt das x von t kann man darstellen durch die Überlagerung der

homogenen Lösung, also die Lösung für das Problem x Punkt gleich a mal x ohne

das b, b gleich null und einer partikulieren Lösung. Und wir hatten

das homogene Problem gelöst mit Hilfe dieser Fundamentalmatrix, die man als

dieser Reihe darstellen konnte. Die hatte bestimmte Eigenschaften, das hat man

letztes Mal gemacht und hatten dann die allgemeine Lösung des homogenen Systems

dargestellt als die Fundamentalmatrix Phi von t mal x null, der Vektor der

Anfangsbedingungen. Also die Fundamentalmatrix Phi transportiert

sozusagen die Anfangsbedingungen durch die Zeit und das ist die homogene

Lösung, wenn weiter keine Kräfte einwirken. Und wir hatten am letzten Mal

angefangen uns mit der inhomogenen Lösung zu beschäftigen, das heißt ich

habe x Punkt a mal x plus jetzt irgendein b ungleich null und da kann ich jetzt

einsetzen, diesen Splitt aus homogener und partikulärer Lösung setzt dann für

die homogene Lösung das ein, was wir vorher gefunden hatten und dann hatten

wir festgestellt, dass natürlich die partikuläre Lösung für sich die

Differentialgleichung erfüllen muss, also x Punkt partikulär ist a mal x

partikulär bis plus b und hinsichtlich der Anfangsbedingungen muss die

partikuläre Lösung die homogenen Anfangsbedingungen erfüllen, das heißt

aus der Ruhelage sozusagen, also x null partikulär ist der null Vektor, weil die

Anfangsbedingungen ja bereits durch die homogene Lösung erledigt werden und wenn

ich jetzt noch mal Anfangsbedingungen hätte aus der partikulären Lösung,

müsste ich die ja auch überlagern und dann stimmt es nicht mehr, das heißt wenn

ich die schon komplett erfüllt habe, darf die partikuläre Lösung da keinen

Beitrag mehr leisten. Da waren wir glaube ich beim letzten Mal stehengeblieben, das

heißt wir hatten die Erfüllung dieser Gleichung sozusagen gefordert und

wollten uns jetzt mal anschauen, wie man das lösen kann. Auch das macht man mit

einem Ansatz, ich glaube das partikulieren Problems

und zwar ist das, was man jetzt macht, eine Technik die läuft unter dem

eigenartigen Namen Variation der Konstanten.

Das klingt erstmal seltsam, weil wenn eine Konstante ist, kann man sie nicht

variieren. Sieht folgendermaßen aus, ich mache einen Ansatz x Partikulär von t

ist Phi von t, ja genauso wie für die homogene Lösung jetzt mit einem C von t.

Also im Prinzip macht man einen Ansatz der Art, wie man das auch macht, wie man

für die homogene Lösung gefunden hat. Die homogene Lösung war ja Phi von t mal x0

mal eine Konstante, nämlich die Anfangsbedingungen und jetzt mache ich

einen Ansatz bei dem diese Konstante halt keine Konstante ist, sondern Variabel ist

eine weitere Funktion C von t, die ich jetzt so versuche zu bestimmen, dass sie

an das B irgendwie erliefert. Das ist also sozusagen die Idee, dass dieses C

von t, das ist die Zeitvariante Konstante, was ein eigenartiger Name ist, weil es

damit ja eigentlich gar keine Konstante ist. Man könnte auch Variation der

Parameter oder sowas nennen, keine Ahnung. Das ist also, so heißt das halt.

Wenn ich das jetzt einsetze in die DGL, dann bekomme ich jetzt folgendes. Ich möchte

die Differentialgleichung ist x Punkt gleich a mal x plus b. Wenn ich jetzt x